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Arranjo Simples – Matemática

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Fórmula do Arranjo Simples em combinatória, denotado por An,k, onde arranjamos k objetos de n objetos dados, é uma fórmula muito importante dada por:
A_{n,k} = frac{n!}{(n-k)!}
É muito útil na solução de problemas de contagem onde a ordem é levada em consideração.
Ela pode ser pensada da seguinte forma: para arranjarmos k objetos de n objetos dados podemos primeiramente escolher k objetos de n, que pela Fórmula Binominal podemos fazer de
{n choose k} = frac{n!}{k! cdot (n-k)!}
maneiras diferentes, e logo em seguida multiplicamos pelo número de maneiras que podemos ordenar estes k objetos escolhidos, que é de k! maneiras:
A_{n,k} = {n choose k} cdot k! = frac{n!}{k! cdot (n-k)!} cdot k! = frac{n!}{(n-k)!}
Outra forma de derivarmos essa fórmula é usarmos o princípio fundamental da contagem da Análise Combinatória, assim: podemos escolher o primeiro objeto de n formas diferentes, o segundo de (n-1) formas diferentes, e assim por diante, até o k-ésimo que podemos escolher de (n-(k-1)) formas diferentes, multiplicando tudo temos n.(n-1)…(n-(k-1))= An,k. Para  ver isto basta abrir a fórmula de An,k.
Vamos resolver um problema para podermos fixar melhor estas idéias:
Numa corrida entre 10 competidores premia-se os dois primeiros com dois chocolates idênticos. Quais são as possibilidades de premiação?
Bem, nesse caso a ordem não é importante, então basta ver de quantos modos pode-se terminar a corrida. Neste caso, basta calcular:
{10 choose 2} = frac{10!}{2! cdot (10-2)!} = frac{10 cdot 9 cdot 8!}{2 cdot 8!} = frac{10 cdot 9}{2} = 45
Que é o número de maneiras de dois dos dez competidores ganhar a corrida.
Então este é o número de maneiras de se premiar.
Suponha agora que resolvemos premiar o primeiro colocado com um sorvete e o segundo com um chocolate. Nesse caso, a ordem é importante, não basta saber quem foram os dois primeiros, é preciso saber quem foi o primeiro e quem foi o segundo. Assim, precisamos usar a fórmula do arranjo que resulta em:
frac{10}{8!} = 10 cdot 9 = 90
Bibliografia:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arranjo_(matemática)#Arranjo

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